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[2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．
[2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．
admin
2021-01-19
26
问题
[2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′
y
(x，y)≠0．已知(x
0
，y
0
)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．
选项
A、若f′
x
(x
0
，y
0
)=0，则f′
y
(x
0
，y
0
)=0
B、若f′
x
(x
0
，y
0
)=0，则f′
y
(x
0
，y
0
)≠0
C、若f′
x
(x
0
，y
0
)≠0，则f′
y
(x
0
，y
0
)=0
D、若f′
x
(x
0
，y
0
)≠0，则f′
y
(x
0
，y
0
)≠0
答案
D
解析
利用拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)在(x
0
，y
0
，λ
0
)(λ
0
是
对应x
0
，y
0
，的参数λ的值)取得极值的必要条件揭示出f(x，y)的偏导数之间的关系．
由拉格朗日乘数法，得
消去λ，得f′
x
(x
0
，y
0
)φ′
y
(x
0
，y
0
)一f′
y
(x
0
，y
0
)φ′
x
(x
0
，y
0
)=0．因φ′
y
(x
0
，y
0
)≠0，故
f′
x
(x
0
，y
0
)=
因而当f′
x
(x
0
，y
0
)≠0时，必有f′
y
(x
0
，y
0
)≠0．仅(D)入选．
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考研数学二
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