[2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

admin2021-01-19 42

问题 [2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′_y(x，y)≠0．已知(x₀，y₀)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

选项 A、若f′_x(x₀，y₀)=0，则f′_y(x₀，y₀)=0
B、若f′_x(x₀，y₀)=0，则f′_y(x₀，y₀)≠0
C、若f′_x(x₀，y₀)≠0，则f′_y(x₀，y₀)=0
D、若f′_x(x₀，y₀)≠0，则f′_y(x₀，y₀)≠0

答案D

解析利用拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)在(x₀，y₀，λ₀)(λ₀是
对应x₀，y₀，的参数λ的值)取得极值的必要条件揭示出f(x，y)的偏导数之间的关系．
由拉格朗日乘数法，得

消去λ，得f′_x(x₀，y₀)φ′_y(x₀，y₀)一f′_y(x₀，y₀)φ′_x(x₀，y₀)=0．因φ′_y(x₀，y₀)≠0，故
f′_x(x₀，y₀)=

因而当f′_x(x₀，y₀)≠0时，必有f′_y(x₀，y₀)≠0．仅(D)入选．

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考研数学二

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