2. 考研
  3. [2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

[2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

admin2021-01-19  31
问题 [2006年]  设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(    )．
选项 A、若f′x(x0，y0)=0，则f′y(x0，y0)=0
B、若f′x(x0，y0)=0，则f′y(x0，y0)≠0
C、若f′x(x0，y0)≠0，则f′y(x0，y0)=0
D、若f′x(x0，y0)≠0，则f′y(x0，y0)≠0
答案D
解析 利用拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)在(x0，y0，λ0)(λ0是
对应x0，y0，的参数λ的值)取得极值的必要条件揭示出f(x，y)的偏导数之间的关系．
由拉格朗日乘数法，得
消去λ，得f′x(x0，y0)φ′y(x0，y0)一f′y(x0，y0)φ′x(x0，y0)=0．因φ′y(x0，y0)≠0，故
f′x(x0，y0)=
因而当f′x(x0，y0)≠0时，必有f′y(x0，y0)≠0．仅(D)入选．
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考研数学二

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