设矩阵A=相似，求x，y；并求—个正交矩阵P，使P-1AP=A.

admin2020-11-13 57

问题设矩阵A=

相似，求x，y；并求—个正交矩阵P，使P^-1AP=A.

选项

答案(1)因为A与A相似，得｜A｜=｜A｜且A的全部特征值的和等于主对角线元素和且与A的全部特征值的和(主对角线元素和)相等，又因为｜A｜=[*]=一15x一40，｜A｜=一20y，所以[*] (2)由(1)知A=[*] 因为A～A，因此A的特征值为λ₁=λ₃=5，λ₂=一4．当λ₁=λ₃=5时，解线性方程(5E—A)x=0． 5E—A=[*]，解得基础解系[*] 取k₁=0，k₂=1和k₂=0，k₁=1两组数，得两线性无关的特征向量α₁=[*] 将α₁，α₃正交化得屈β₁=α₁，β₃=α₃—[*] 当λ₃=一4时，解线性方程(一4E—A)x=0，一4E—A=[*]，解得基础解系为α₂=(2，1，2)^T．最后将β₁，β₂，β₃单位化，即得γ₁=[*] 令P=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]，则P^-1AP=A．

解析

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考研数学三

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