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[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．
[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．
admin
2019-05-10
42
问题
[2000年] 设A为n阶实矩阵，A
T
是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：A
T
AX=0必有( )．
选项
A、(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
答案
A
解析
本题的难点是在由A
T
AX=0得到A．这只有将A
T
AX=0化成只含AX的式子才好研究，为此在A
T
AX=0两边同时左乘X
T
．
解一 由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．
解二 设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有
A
T
Aα=A
T
(Aα)=A
T
0=0,
即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．
反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由A
T
Aβ=0得到
β
T
(A
T
Aβ)=0，即
(Aβ)
T
(Aβ)=(β
T
A
T
)(Aβ)=β
T
(A
T
Aβ)=0．
设Aβ=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
，则
(Aβ)T(Aβ)=b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
=0
b
i
=0 (i=1，2，…，n)，
即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
或用反证法证之．若Aβ=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
≠0，不妨设b
1
≠0，则
(Aβ)
T
(Aβ)一[b
1
，b
2
，…，b
n
][b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
=b
1
2
+
b
i
2
＞0．
这与(Aβ)
T
(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．
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考研数学二
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