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[2000年] 设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):AX=0和(Ⅱ):ATAX=0必有( ).
[2000年] 设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):AX=0和(Ⅱ):ATAX=0必有( ).
admin
2019-05-10
48
问题
[2000年] 设A为n阶实矩阵,A
T
是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):AX=0和(Ⅱ):A
T
AX=0必有( ).
选项
A、(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解.
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
答案
A
解析
本题的难点是在由A
T
AX=0得到A.这只有将A
T
AX=0化成只含AX的式子才好研究,为此在A
T
AX=0两边同时左乘X
T
.
解一 由命题2.4.7.3(1)知,仅(A)入选.
解二 设a为组(Ⅰ)的任一解,则Aα=0,于是有
A
T
Aα=A
T
(Aα)=A
T
0=0,
即α也是组(Ⅱ)的解.于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解.
反之,设β为组(Ⅱ)的任一解.下面证明它也是组(Ⅰ)的解.由A
T
Aβ=0得到
β
T
(A
T
Aβ)=0,即
(Aβ)
T
(Aβ)=(β
T
A
T
)(Aβ)=β
T
(A
T
Aβ)=0.
设Aβ=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
,则
(Aβ)T(Aβ)=b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
=0
b
i
=0 (i=1,2,…,n),
即Aβ=0,亦即β为AX=0的解向量.
或用反证法证之.若Aβ=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
≠0,不妨设b
1
≠0,则
(Aβ)
T
(Aβ)一[b
1
,b
2
,…,b
n
][b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
=b
1
2
+
b
i
2
>0.
这与(Aβ)
T
(Aβ)=0矛盾.因而Aβ=0,于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解.因而组(I)与组(II)同解.仅(A)入选.
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考研数学二
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