[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．

admin2019-05-10 43

问题 [2000年] 设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：A^TAX=0必有( )．

选项 A、(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．

答案A

解析本题的难点是在由A^TAX=0得到A．这只有将A^TAX=0化成只含AX的式子才好研究，为此在A^TAX=0两边同时左乘X^T．
解一  由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．
解二  设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有
A^TAα=A^T(Aα)=A^T0=0,
即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．
反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由A^TAβ=0得到
β^T(A^TAβ)=0，即
(Aβ)^T(Aβ)=(β^TA^T)(Aβ)=β^T(A^TAβ)=0．
  设Aβ=[b₁，b₂，…，b_n]^T，则
(Aβ)T(Aβ)=b₁²+b₂²+…+b_n²=0

b_i=0 (i=1，2，…，n)，
即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
或用反证法证之．若Aβ=[b₁，b₂，…，b_n]^T≠0，不妨设b₁≠0，则
(Aβ)^T(Aβ)一[b₁，b₂，…，b_n][b₁，b₂，…，b_n]^T=b₁²+

b_i²＞0．
这与(Aβ)^T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．

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考研数学二

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设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则()．

计算(a＞0)，其中D是由曲线y＝－a＋和直线y＝－χ所围成的区域．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

设函数f(x)连续，若F(μ，ν)=dxdy，其中区域Dμν为图1—4—1中阴影部分，则=()

在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。求关系式中的矩阵A；

[2017年]求

水溶性维生素不包括()。

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孙某，女，43岁，近半年来感困乏、无力、气短、心慌，查体：皮肤苍白，毛发干枯、脱落、匙状甲，心率110次／分，律齐，血红蛋白80g／L，有“子宫肌瘤”，月经量多病史，该患者最主要的治疗药物是()。

按照马克思的利率决定理论，利率变化的界限在(　　)。

事业单位会计既要满足预算管理的需要，也要满足单位财务管理的需要。()

请结合具体作品论述纪录片的美学特征与文化价值。

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