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  3. 将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反： (Ⅰ)f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分； (Ⅱ)计算e－x2dx．

将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反： (Ⅰ)f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分； (Ⅱ)计算e－x2dx．

admin2019-07-19  71
问题 将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：
(Ⅰ)f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分；
(Ⅱ)计算e－x2dx．
选项
答案(Ⅰ)D的极坐标表示：[*]≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即[*]≤0≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，则D为左半圆域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+(y－[*]，x≤0． 用先对y后对x积分．D：[*]，于是 原式=[*] (Ⅱ)积分区域D为扇形{(x，y)｜0≤y≤[*]R，0≤x≤y}∪{(x，y)｜[*]R≤y≤R，0≤x≤[*] 所以 原式=[*](1－e－R2)．
解析 题(Ⅰ)是极坐标变换下的累次积分，先写成f(x，y)dxdy，确定积分区域D，再化成累次积分．题(Ⅱ)中无论是先对x，还是先对y积分都很难进行，这是因为e－x2，e－y2的原函数不是初等函数，所以必须改用其他坐标系．又由于被积函数属f(x2+y2)的形式，因此选用极坐标系较方便．
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考研数学一

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