将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反： (Ⅰ)f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分； (Ⅱ)计算e－x2dx．

admin2019-07-19 29

问题将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：
(Ⅰ)

f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分；
(Ⅱ)计算

e^－x²dx．

选项

答案(Ⅰ)D的极坐标表示：[*]≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即[*]≤0≤π，r²≤rsinθ，即x²+y²≤y，x≤0，则D为左半圆域：x²+y²≤y，x≤0，即x²+(y－[*]，x≤0．用先对y后对x积分．D：[*]，于是原式=[*] (Ⅱ)积分区域D为扇形{(x，y)｜0≤y≤[*]R，0≤x≤y}∪{(x，y)｜[*]R≤y≤R，0≤x≤[*] 所以原式=[*](1－e^－R²)．

解析题(Ⅰ)是极坐标变换下的累次积分，先写成

f(x，y)dxdy，确定积分区域D，再化成累次积分．题(Ⅱ)中无论是先对x，还是先对y积分都很难进行，这是因为e^－x²，e^－y²的原函数不是初等函数，所以必须改用其他坐标系．又由于被积函数属f(x²+y²)的形式，因此选用极坐标系较方便．

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考研数学一

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