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将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反: (Ⅰ)f(rcosθ,rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分; (Ⅱ)计算e-x2dx.
将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反: (Ⅰ)f(rcosθ,rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分; (Ⅱ)计算e-x2dx.
admin
2019-07-19
63
问题
将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反:
(Ⅰ)
f(rcosθ,rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分;
(Ⅱ)计算
e
-x
2
dx.
选项
答案
(Ⅰ)D的极坐标表示:[*]≤θ≤π,0≤r≤sinθ,即[*]≤0≤π,r
2
≤rsinθ,即x
2
+y
2
≤y,x≤0,则D为左半圆域:x
2
+y
2
≤y,x≤0,即x
2
+(y-[*],x≤0. 用先对y后对x积分.D:[*],于是 原式=[*] (Ⅱ)积分区域D为扇形{(x,y)|0≤y≤[*]R,0≤x≤y}∪{(x,y)|[*]R≤y≤R,0≤x≤[*] 所以 原式=[*](1-e
-R
2
).
解析
题(Ⅰ)是极坐标变换下的累次积分,先写成
f(x,y)dxdy,确定积分区域D,再化成累次积分.题(Ⅱ)中无论是先对x,还是先对y积分都很难进行,这是因为e
-x
2
,e
-y
2
的原函数不是初等函数,所以必须改用其他坐标系.又由于被积函数属f(x
2
+y
2
)的形式,因此选用极坐标系较方便.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jjc4777K
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考研数学一
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