2. 考研
  3. 设f(χ)，g(χ)在[a，b]上二阶可导，g〞(χ)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0． 证明：(Ⅰ)g(χ)≠0，任意χ∈(a，b)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上二阶可导，g〞(χ)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0． 证明：(Ⅰ)g(χ)≠0，任意χ∈(a，b)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使．

admin2020-12-17  27
问题 设f(χ)，g(χ)在[a，b]上二阶可导，g〞(χ)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0．
    证明：(Ⅰ)g(χ)≠0，任意χ∈(a，b)；
    (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使．
选项
答案(Ⅰ)反证法． 若不然，则在(a，b)内至少存在一点c，使g(c)＝0，于是由已知条件知，g(χ)在[a，c]与[c，b]上满足罗尔定理条件．分别应用罗尔定理，得ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使 g′(ξ1)＝0，g′(ξ2)＝0， 于是g′(χ)在[ξ1，ξ2]上满足罗尔定理条件，进一步应用罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使g〞(η)＝0，这与条件g〞(χ)≠0，χ∈(a，b)矛盾． 故g(χ)≠0，χ∈(a，b)． (Ⅱ)令F(χ)＝f(χ)g′(χ)－f(χ)g(χ)，则F(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)＝F(b)＝0，满足罗尔定理条件．对F(χ)应用罗尔定理，于是存在ξ∈(a，b)，使F′(ξ)＝0，即 F′(ξ)＝[f′(χ)g′(χ)＋f(χ)g〞(χ)－f′(χ)g′(χ)－f〞(χ)g(χ)]｜χ＝ξ ＝f(ξ)g〞(ξ)－f〞(ξ)g(ξ)＝0， 由于g(ξ)≠0，g〞(ξ)≠0，所以 [*]
解析
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考研数学三

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