设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

admin2019-11-25 17

问题设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

选项 A、矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等
B、若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵
C、若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为

D、若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等

答案D

解析 A不对，例如：A＝

，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；
B不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；
C不对，例如：A＝

，A经过有限次行变换化为

，经过行变换不能化为

；
因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P^－1AP＝

，于是r(A)＝r

，故选D．

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