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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对

admin2018-04-18  48
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12。
    (Ⅰ)求a，b的值；
    (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
选项
答案(Ⅰ)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λi(i=1，2，3)，由题设，有 λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1， λ1λ2λ3=[*]=一4a-2b2=一12。 解得a=1，b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 ｜λE一A｜=[*]=(λ-2)2(λ+3)， 得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=一3。 对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E一A)x=0，得其基础解系 ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T。 对于λ3=一3，解齐次线性方程组(一3E-A)x=0，得基础解系 ξ3=(1，0，一2)T。 由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，将ξ1，ξ2，ξ3单位化，可得 [*] 令矩阵 Q=(η1，η2，η3)=[*]， 则Q为正交矩阵。在正交变换x=Qy下，有 QTAQ=[*]， 且二次型的标准形为f=2y12+2y22-3y32。
解析
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考研数学三

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