设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对

admin2018-04-18  35

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12。
    (Ⅰ)求a,b的值;
    (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

选项

答案(Ⅰ)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λi(i=1,2,3),由题设,有 λ123=a+2+(-2)=1, λ1λ2λ3=[*]=一4a-2b2=一12。 解得a=1,b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 |λE一A|=[*]=(λ-2)2(λ+3), 得A的特征值λ12=2,λ3=一3。 对于λ12=2,解齐次线性方程组(2E一A)x=0,得其基础解系 ξ1=(2,0,1)T,ξ2=(0,1,0)T。 对于λ3=一3,解齐次线性方程组(一3E-A)x=0,得基础解系 ξ3=(1,0,一2)T。 由于ξ1,ξ2,ξ3已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,将ξ1,ξ2,ξ3单位化,可得 [*] 令矩阵 Q=(η1,η2,η3)=[*], 则Q为正交矩阵。在正交变换x=Qy下,有 QTAQ=[*], 且二次型的标准形为f=2y12+2y22-3y32

解析
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