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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对
admin
2018-04-18
52
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12。
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λ
i
(i=1,2,3),由题设,有 λ
1
+λ
2
+λ
3
=a+2+(-2)=1, λ
1
λ
2
λ
3
=[*]=一4a-2b
2
=一12。 解得a=1,b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 |λE一A|=[*]=(λ-2)
2
(λ+3), 得A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=一3。 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E一A)x=0,得其基础解系 ξ
1
=(2,0,1)
T
,ξ
2
=(0,1,0)
T
。 对于λ
3
=一3,解齐次线性方程组(一3E-A)x=0,得基础解系 ξ
3
=(1,0,一2)
T
。 由于ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化,可得 [*] 令矩阵 Q=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*], 则Q为正交矩阵。在正交变换x=Qy下,有 Q
T
AQ=[*], 且二次型的标准形为f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
。
解析
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0
考研数学三
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