求由直线x=1，x=3与曲线y=xlnx及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积．

admin2018-06-14 18

问题求由直线x=1，x=3与曲线y=xlnx及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积．

选项

答案设(x₀，y₀)为切点，如图3．1，则切线方程为 y—y₀=(1+lnx₀)(x一x₀)．由此可知所围图形面积为 S=∫₁³{xlnx一[y₀+(1+lnx₀)(x一x₀)]}dx =[*]ln3—2—[2y₀+(1+lnx₀)(4—2x₀)] =[*]ln3—2一[2x₀lnx₀+(1+lnx₀)(4—2x₀)] =[*]ln3—6+2x₀一4lnx₀， [*] 故当x₀=2时，S取得最小值，且minS=[*]ln3—2—4ln2．

解析

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考研数学三

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