设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3). (Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。

admin2019-03-12  32

问题 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3).
(Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。

选项

答案(Ⅰ)设F(x)=∫0xf(t)dt,x∈[0,3]。由于f(x)在[0,3]上连续,从而可知F(x)在[0,3]上可导。由拉格朗日中值定理可知F(2)—F(0)=F’(η)(2—0),η∈(0,2),所以∫02f(x)dx=2f(η),又因为2f(0)=∫02f(x)dx,所以f(η)=f(0)。 (Ⅱ)因f(2)+f(3)=2f(0),即[*]=f(0),又因为f(x)在[2,3]上连续,由介值定理知,至少存在一点η1∈[2,3]使得f(η1)=f(0)。 因f(x)在[0,η]上连续,在(0,η)上可导,且f(0)=f(η),由罗尔定理知,存在ξ1∈(0,η),有f’(ξ1)=0。 又因为f(x)在[η,η1]上是连续的,在(η,η1)上是可导的,且满足f(η)=f(0)=f(η1),由罗尔定理知,存在ξ2∈(η,η1),有f’(ξ2)=0。 又因为f(x)在[ξ1,ξ2]上是二阶可导的,且f’(ξ2)=f’(ξ2)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(ξ1,ξ2),使得f"(ξ)=0。

解析
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