设f(x)和g(x)在(-∞,+∞)内都可导,且有fˊ(x)>gˊ(x),f(a)=g(a),证明:当x>a时,f(x)>g(x);当x<a时,f(x)<g(x).

admin2020-03-10  61

问题 设f(x)和g(x)在(-∞,+∞)内都可导,且有fˊ(x)>gˊ(x),f(a)=g(a),证明:当x>a时,f(x)>g(x);当x<a时,f(x)<g(x).

选项

答案证: 令 F(x)=f(x)-g(x), 则 F(a)=f(a)-g(a)=0,又 Fˊ(x)=fˊ(x)-gˊ(x)>0, 所以函数F(x)在(-∞,+∞)内单调增加,从而在x>a时, F(x)>F(a),即 f(x)-g(x)>0,f(x)>g(x), 而x<a时,F(x)<F(a),即 f(x)-g(x)<0,f(x)<g(x), 证毕.

解析
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