已知A，B是三阶非零矩阵，且A﹦。β1﹦(0，1，－1)T，β2﹦(a，2，1)T，β3﹦(6，1，0)T。是齐次线性方程组Bx﹦0的三个解向量，且Ax﹦β3有解。 (I)求a，b的值； (Ⅱ)求Bx﹦0的通解。

admin2019-07-01 107

问题已知A，B是三阶非零矩阵，且A﹦

。β₁﹦(0，1，－1)^T，β₂﹦(a，2，1)^T，β₃﹦(6，1，0)^T。是齐次线性方程组Bx﹦0的三个解向量，且Ax﹦β₃有解。
(I)求a，b的值；
(Ⅱ)求Bx﹦0的通解。

选项

答案(I)由B≠O，且β₁，β₂，β₃是齐次线性方程组Bx﹦0的三个解向量可知，向量组 β₁，β₂，β₃必线性相关，则有｜β₁，β₂，β₃｜﹦[*] 解得a﹦36。由Ax﹦β₃有解可知，线性方程组Ax﹦β₃，的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等变换得 [*] 所以b﹦－4，a﹦36﹦－12。 (Ⅱ)因为B≠O，所以r(B)≥1，则3－r(B)≤2。又因为β₁，β₂是Bx﹦0的两个线性无关的解向量，故3－r(B)≥2，故r(B)﹦1，所以β₁，β₂是Bx﹦0的一个基础解系，于是Bx﹦0的通解为 X﹦k₁β₁﹢k₂β₂，其中k₁，k₂为任意常数。本题考查向量组的线性相关性及线性方程组解的结构。非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系，由此即可得出其通解。

解析

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考研数学一

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已知A，B是三阶非零矩阵，且A﹦。β1﹦(0，1，－1)T，β2﹦(a，2，1)T，β3﹦(6，1，0)T。是齐次线性方程组Bx﹦0的三个解向量，且Ax﹦β3有解。 (I)求a，b的值； (Ⅱ)求Bx﹦0的通解。

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