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  3. 设非零n维列向量α，β正交且A＝αβT．证明：A不可以相似对角化．

设非零n维列向量α，β正交且A＝αβT．证明：A不可以相似对角化．

admin2020-03-16  25
问题 设非零n维列向量α，β正交且A＝αβT．证明：A不可以相似对角化．
选项
答案令λ为矩阵A的特征值，X为λ所对应的特征向量，则AX＝λX，显然A2X＝λ2X， 因为α，β正交，所以A2＝αβT.αβT＝O，于是λ2X＝0，而X≠0，故矩阵A的特征值为 λ1＝λ2＝…＝λn＝0． 又由α，β都是非零向量得A≠O， 因为r(OE－A)＝r(A)≥1，所以n－r(OE－A)≤n－1＜n，所以A不可相似对角化．
解析
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考研数学二

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