设非零n维列向量α，β正交且A＝αβT．证明：A不可以相似对角化．

admin2020-03-16 27

问题设非零n维列向量α，β正交且A＝αβ^T．证明：A不可以相似对角化．

选项

答案令λ为矩阵A的特征值，X为λ所对应的特征向量，则AX＝λX，显然A²X＝λ²X，因为α，β正交，所以A²＝αβ^T.αβ^T＝O，于是λ²X＝0，而X≠0，故矩阵A的特征值为 λ₁＝λ₂＝…＝λ_n＝0．又由α，β都是非零向量得A≠O，因为r(OE－A)＝r(A)≥1，所以n－r(OE－A)≤n－1＜n，所以A不可相似对角化．

解析

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