设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明:A不可以相似对角化.

admin2020-03-16  22

问题 设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明:A不可以相似对角化.

选项

答案令λ为矩阵A的特征值,X为λ所对应的特征向量,则AX=λX,显然A2X=λ2X, 因为α,β正交,所以A2=αβT.αβT=O,于是λ2X=0,而X≠0,故矩阵A的特征值为 λ1=λ2=…=λn=0. 又由α,β都是非零向量得A≠O, 因为r(OE-A)=r(A)≥1,所以n-r(OE-A)≤n-1<n,所以A不可相似对角化.

解析
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