已知ξ=(1,-2,3)T是矩阵的一个特征向量。 (Ⅰ)试确定参数a,b及ξ所对应的特征值λ; (Ⅱ)A能否对角化,如果能,试求可逆矩阵P,使得A相似于对角矩阵。

admin2019-01-25  37

问题 已知ξ=(1,-2,3)T是矩阵的一个特征向量。
    (Ⅰ)试确定参数a,b及ξ所对应的特征值λ;
    (Ⅱ)A能否对角化,如果能,试求可逆矩阵P,使得A相似于对角矩阵。

选项

答案(Ⅰ)A的特征向量ξ对应的特征值为λ,则Aξ=λξ,即 [*] (Ⅱ)根据a=-1,b=4可得矩阵[*] [*] 特征值分别为λ1=6,λ2=2(二重)。 当λ=6时,[*],解得特征向量为ξ1=(1,-2,3)T; 当λ=2时,[*],解得特征向量为 ξ2=(1,-1,0)T,ξ3=(1,0,1)T。 [*]

解析 本题考查特征值与特征向量及矩阵的相似对角化。根据ξ=(1,-2,3)T是A的特征向量,即Aξ=λξ,建立关于a,b及ξ的方程组,解出它们的值。矩阵可相似对角化的条件是A有3个不同的特征值或对应的n重特征值有n个线性无关的特征向量,据此判断A是否可对角化,并通过求特征向量得出使A相似于对角矩阵的可逆矩阵P。
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