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设α,β为三维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别为α,β的转置。证明:r(A)≤2。
设α,β为三维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别为α,β的转置。证明:r(A)≤2。
admin
2017-12-29
47
问题
设α,β为三维列向量,矩阵A=αα
T
+ββ
T
,其中α
T
,β
T
分别为α,β的转置。证明:r(A)≤2。
选项
答案
r(A)=r(αα
T
+ββ
T
)≤r(αα
T
)+r(ββ
T
)≤r(α)+r(β)≤2。 因为A=αα
T
+ββ
T
,A为3×3矩阵,所以r(A)≤3。 因为α,β为三维列向量,所以存在三维列向量ξ≠0,使得 α
T
ξ=0,β
T
ξ=0, 于是 Aξ=αα
T
ξ+ββ
T
ξ=0, 所以Ax=0有非零解,从而r(A)≤2。
解析
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考研数学三
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