设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明：r（A）≤2。

admin2017-12-29 14

问题设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别为α，β的转置。证明：r（A）≤2。

选项

答案r（A）=r（αα^T+ββ^T）≤r（αα^T）+r（ββ^T）≤r（α）+r（β）≤2。因为A=αα^T+ββ^T，A为3×3矩阵，所以r（A）≤3。因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得 α^Tξ=0，β^Tξ=0，于是 Aξ=αα^Tξ+ββ^Tξ=0，所以Ax=0有非零解，从而r（A）≤2。

解析

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考研数学三

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