2. 考研
  3. (1)设f(x)在[a，b]上非负连续且不恒为零，证明必有 ∫abf(x)dx＞0； (2)是否存在[0，2]上的可导函数f(x)，满足 f(0)=f(2)=1，｜f’(x)｜≤1，｜∫02f(x)dx｜≤1， 并说明理由．

(1)设f(x)在[a，b]上非负连续且不恒为零，证明必有 ∫abf(x)dx＞0； (2)是否存在[0，2]上的可导函数f(x)，满足 f(0)=f(2)=1，｜f’(x)｜≤1，｜∫02f(x)dx｜≤1， 并说明理由．

admin2018-09-25  23
问题 (1)设f(x)在[a，b]上非负连续且不恒为零，证明必有
    ∫abf(x)dx＞0；
(2)是否存在[0，2]上的可导函数f(x)，满足
    f(0)=f(2)=1，｜f’(x)｜≤1，｜∫02f(x)dx｜≤1，
并说明理由．
选项
答案由题意f(x)≥0，x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使f(x0)≠0，从而f(x0)＞0，又 由连续性可得，[*]=f(x0)＞0=>存在δ＞0与η＞0，当0＜｜x－x0｜＜δ时，恒有 f(x)＞η＞0． 于是 ∫abf(x)dx≥∫x0－δx0+δf(x)dx≥∫x0－δx0+δηdx=η.2δ＞0． (2)设[0，2]上存在连续可微的函数f(x)满足题设条件，则在[0，1]上，对任意x∈(0，1]，存在ξ1∈(0，x)，由拉格朗日中值定理得f(x)－f(x)=f’(ξ1)(x－0)，即f(x)=1+f’(ξ1)x． 利用｜f’(x)｜≤1得1－x≤f(x)(x∈(0，1])． 由题设f(0)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[0，1]． 同样，在[1，2]上，对任意x∈[1，2)，存在ξ2∈(x，2)，由拉格朗日中值定理得 f(x)－f(2)=f’(ξ2)(x－2)， 即f(x)=1+f’(ξ2)(x－2)，利用｜f’(x)｜≤1得 1+(x－2)≤f(x)， 即x－1≤f(x)(x∈[1，2))． 由题设f(2)=1知这一不等式成立范围可扩大为z∈[1，2]． ∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx ＞∫01(1－x)dx+∫12(x－1)dx [*] 这与f(x)所满足的｜∫02f(x)dx｜≤1矛盾，故不存在这样的f(x)．
解析
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考研数学一

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