下列条件不能保证n阶实对称阵A正定的是( )

admin2020-03-01 30

问题下列条件不能保证n阶实对称阵A正定的是( )

选项 A、A^—1正定。
B、A没有负的特征值。
C、A的正惯性指数等于n。
D、A合同于单位矩阵。

答案B

解析 A^—1正定表明存在可逆矩阵C，使C^TA^—1C=E，两边求逆得到
C^—1A(C^T)^—1=C^—1A(C^—1)^T=E，
即A合同于E，A正定，因此不应选A。
D选项是A正定的定义，也不正确。
C选项表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵。由排除法，故选B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。

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