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设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,6)内二阶可导,且,证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,6)内二阶可导,且,证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
admin
2016-07-22
35
问题
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,6)内二阶可导,且
,证明:
在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
选项
答案
由加强型的积分中值定理知,至少存在一点c∈(a,b),使得 [*] 设G(x)=e
-x
f(x),则G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且G(a)=G(b)=G(c)=0,G’(x)=e
-x
f’(x)-e
-x
f(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)].由罗尔定理可知,分别存在ξ
1
∈(a,c)和ξ
2
∈(c,6),使得G’(ξ)=G’(ξ
2
)=0,从而f’(ξ
1
)=f(ξ
1
),f’(ξ
2
)=f(ξ
2
).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/o4w4777K
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考研数学一
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