求下列幂级数的和函数并指出收敛域： (Ⅰ)xn； (Ⅱ)n(n+1)xn．

admin2017-11-13 25

问题求下列幂级数的和函数并指出收敛域：
(Ⅰ)

xⁿ；
(Ⅱ)

n(n+1)xⁿ．

选项

答案(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设 [*] 并令S₁(x)=[*]xⁿ，则 [*] =－4ln(1－x)，(－1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式) 所以S(x)=S₁(x)－S₂(x)+S₃(x)=[*]ln(1－x) =[*]ln(1－x)， x∈(－1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a₀=1，同时，也容易看出[*]S(x)=[*]=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质． (Ⅱ)令S(x)=[*]n(n+1)x^n－1=xφ(x)，而 [*] 于是 S(x)=xφ(x)=[*]，x∈(－1，1)．

解析

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