若二阶常系数齐次线性微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解是________。

admin2018-12-29  27

问题 若二阶常系数齐次线性微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解是________。

选项

答案y=x(1—e*)+2

解析 由y=(C1+C2x)e*是齐次方程的通解可知,r=1是齐次方程对应的特征方程的二重根,则特征方程为(r—1)2=0,即r2—2r+1=0,则a= —2,b=1。
设非齐次方程的一个特解为y*=Ax+B,将之代入原方程得A=1,B=2,非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。
由y(0)=2,y′(0)=0得则C1=0,C2= —1。
因此满足条件的解为y= —xex+x+2=x(1—ex)+2。
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