设f(x),g(x)满足 f’(x)=g(x), g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求

admin2019-03-12  34

问题 设f(x),g(x)满足  f’(x)=g(x),  g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求

选项

答案由f’(x)=g(x)可得f’’(x)=g’(x),结合g’(x)=2ex一f(x)可得.厂(x)满足微分方程f’’(x)=2ex一f(x),即y’’=2ex一y. 它对应的齐次方程为y’’+y=0,特征方程为λ2+1=0,特征根为λ1=i,λ2=一i.闲此y’’+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx. 在y’’+y=2ex中,由于A=1不是其齐次方程的特征根,因此它有形如y=axx的特解,将y=aex代人方程y’’+y=2ex中可得a=1.因此y’’+y=2ex的通解为 y=C1cos+C2sinx+ex. 由.f(0)=0,g(0)=2,可知f(x)是y’’+y=2ex的满足初值条件y(0)=0,y’(0)=2的特解,将初值条件代入通解中得C1=一1,C2=1.因此 f(x)=一cosx+sinx+ex. [*]

解析 由f’(x)=g(x)两边求导可得f’’(x)=g’(x),再由g’(x)=2ex一f(x)可得f(x)所满足的微分方程.
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