(I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定,求 (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定,求dy|x=0; (Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求

admin2020-03-10  55

问题 (I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定,求
    (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定,求dy|x=0
    (Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求

选项

答案 (I)方法1 将原方程两边直接对x求导数,并注意y是x的函数,然后解出y’即可.由 (2x+2y·y’)cos(x2+y2)+ex一y2—2xy·y’=0, 得 [*] 方法2 将方程sin(x2+y2)+ex—xy2=0两边同时求全微分并写成f(x,y)dy=g(x,y)dx形式, 则[*]即为所求.由 cos(x2+y2)(2xdx+2ydy)+exdx一y2dx一2xydy=0, 得 [*] (Ⅱ)方法1 先用隐函数求导法求出y’,再求微分dy=y’dx.在方程的两边对x求导,并注意到y是x的函数,得 3x2+3y2y’一3cos3x+6y’=0. 又y|x=0=0,上式中令x=0,y=0解得[*]从而[*] 方法2 利用一阶微分形式的不变性.由 d(x3+y3一sin3x+6y)=0, 即3x2dx+3y2dy一3cos3xdx+6dy=0, 又y|x=0=0,上式中令x=0,y=0解得[*] (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定,f为抽象函数,若把f(x+y)看成f(u),u=x+y,y=y(x),则变成复合函数和隐函数的求导问题.注意,f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数. 将y=f(x+y)两边对x求导,并注意y是x的函数,f是关于x的复合函数,有 y’=f’·(1+y’), 即[*] 又由y’=(1+y’)f’再对x求导,并注意),y’是x的函数,f’仍然是关于x的复合函数,有 y"=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)’ =y’f’+(1+y’)f"·(1+y’) =y"f’+(1+y’)2f", 将[*]代入并解出y"即得[*] 或直接由[*]再对x求导,同样可求得[*]

解析
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