设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

admin2019-01-23 58

问题设n元线性方程组Ax=b，其中

(Ⅰ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₁；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

选项

答案由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式｜A｜=D_n=(n+1)aⁿ。 (Ⅰ)当a≠0时，D_n≠0，方程组有唯一解。将A的第一列换成b，得行列式为 [*] =D_n-1=na^n-1，所以由克拉默法则得x₁=D_n-1／D_n=[*] (Ⅱ)当a=0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n-1，所以方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，…，0)^T+k(1，0，…，0)^T，其中k为任意常数。

解析

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