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设n元线性方程组Ax=b,其中 (Ⅰ)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解。
设n元线性方程组Ax=b,其中 (Ⅰ)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解。
admin
2019-01-23
84
问题
设n元线性方程组Ax=b,其中
(Ⅰ)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x
1
;
(Ⅱ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解。
选项
答案
由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式|A|=D
n
=(n+1)a
n
。 (Ⅰ)当a≠0时,D
n
≠0,方程组有唯一解。将A的第一列换成b,得行列式为 [*] =D
n-1
=na
n-1
, 所以由克拉默法则得x
1
=D
n-1
/D
n
=[*] (Ⅱ)当a=0时,方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n-1,所以方程组有无穷多解,其通解为 x=(0,1,…,0)
T
+k(1,0,…,0)
T
,其中k为任意常数。
解析
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考研数学一
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