设有级数 (1)求此级数的收敛域; (2)证明此级数满足微分方程y"一y=-1; (3)求此级数的和函数.

admin2016-01-11  40

问题 设有级数
(1)求此级数的收敛域;
(2)证明此级数满足微分方程y"一y=-1;
(3)求此级数的和函数.

选项

答案 (1)因为[*]故此级数收敛域为(-∞,+∞). [*] 代入方程左端,y”一y=S”(x)一S(x)=一1,即此级数满足微分方程y”一y=一1. (3)由S(x),S’(x)表达式,知S(0)=2,S’(0)=0.y”一y=一1的特征方程为 r2一1=0. 解得特征根r1=一1,r2=1,故对应的齐次方程通解为Y=C1ex+C2e-x. 显然y*=1是y”一y=一1的一个特解,故方程通解为 y=C1ex+C2e-x+1, 由S’(0)=0,S’(0)=2,得[*] 故级数的和函数为[*]

解析
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