设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).

admin2015-09-10  45

问题 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).

选项

答案令φ(x)=f(x)一g(x),以下分两种情况讨论: 1)若f(x)和g(x)在(a,b)内的同一点处c∈(a,b)取到其最大值,则φ(c)=f(c)一g(c)=0,又φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理知 [*]ξ1∈(a,c),使φ’(ξ1)=0;[*]ξ2∈(c,b),使φ’(ξ2)=0 对φ’(x)在[ξ1,ξ2]上用罗尔定理得,[*]ξ∈(ξ1,ξ2),使φ"(ξ)=0 2)若f(x)和g(x)在(a,b)内不在同一点处取到其最大值,不妨设f(x)和g(x)分别在x1和x2(x1<x2)取到其在(a,b)内的最大值,则 φ(x1)=f(x1)一g(x1)>0,φ(x2)=f(x2)一g(x2)<0 由连续函数的介值定理知,[*]c∈(x1,x2),使φ(c)=0.以下证明与1)相同.

解析 若令φ(x)=f(x)-g(x),本题需证存在ξ∈(a,b),使φ"(ξ)=0,而φ(a)=f(a)一g(a)=0,φ(b)=f(b)一g(b)=0,若能证明存在c∈(a,b),使φ(c)=0,此时,φ(a)=φ(c)=φ(b),由罗尔定理可证明存在ξ∈(a,b),使φ"(ξ)=0.
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