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已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ。
已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ。
admin
2018-01-26
23
问题
已知矩阵A=
有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q
-1
AQ=Λ。
选项
答案
因λ=5是矩阵A的特征值,则由 |5E-A|=[*]=3(4-a
2
)=0, 可得a=±2。 当a>0,即a=2时,则由矩阵A的特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)(λ-5)(λ-1)=0, 可得矩阵A的特征值是1,2,5。 由(E-A)x=0,得基础解系α
1
=(0,1,-1)
T
; 由(2E-A)x=0,得基础解系α
2
=(1,0,0)
T
; 由(5E-A)x=0,得基础解系α
3
=(0,1,1)
T
。 即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是α
1
,α
2
,α
3
。 由于A为实对称矩阵,且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故只需将以上特征向量单位化,即有 γ
1
=[*],γ
2
=[*],γ
3
=[*] 那么,令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],则有Q
-1
AQ=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rSr4777K
0
考研数学一
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