设f（x)在[0,+∞)内二阶可导，f(0)=-2,f’(0)=1,f"(x)≥0.证明：f(x)=0在（0，+∞）内有且仅有一个根.

admin2021-11-09 67

问题设f（x)在[0,+∞)内二阶可导，f(0)=-2,f’(0)=1,f"(x)≥0.证明：f(x)=0在（0，+∞）内有且仅有一个根.

选项

答案因为f"(x)≥0,所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1.因为x＞0时，f(x)-f(0)=f’(ε)x,从而f(x)≥f(0)+x,因为[*],所以[*].由f(x)在[0,+∞)上连续且f(0)=-2＜0,[*],则f(x)=0在（0，+∞）内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0,得到方程的根是唯一的。

解析

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考研数学二

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