设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X Y)表示分块矩阵，则( )．

admin2022-09-08 34

问题设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X Y)表示分块矩阵，则( )．

选项 A、r(A AB)=r(A)
B、r(A BA)=r(A)
C、r(A B)=max{r(A)，r(B)}
D、r(A B)=r(A^T B^T)

答案A

解析把矩阵A，AB按列分块，记A=(α₁，α₂，…，α_n)，AB=(β₁，β₂，…，β_n)，
则向量纽β₁，β₂，…，β_n可以由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表出，
从而α₁，α₂，…，α_n与α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_n等价，
于是r(A AB)=r(A)，故选A项．

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