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f(x)在[0,b]上连续,在(0,b)内可导,f(0)=0,证明:在(0,b)内至少存在一点ξ,使f(b)=(1+ξ)ln(1+b)f’(ξ).
f(x)在[0,b]上连续,在(0,b)内可导,f(0)=0,证明:在(0,b)内至少存在一点ξ,使f(b)=(1+ξ)ln(1+b)f’(ξ).
admin
2022-06-04
47
问题
f(x)在[0,b]上连续,在(0,b)内可导,f(0)=0,证明:在(0,b)内至少存在一点ξ,使f(b)=(1+ξ)ln(1+b)f’(ξ).
选项
答案
由题设知,f(x)和ln(1+x)在闭区间[0,b]上连续,开区间(0,b)内可导,且[(ln(1+x))]’≠0,x∈(0,b),因此f(x)和ln(1+x)在[0,b]上满足柯西中值定理的条件,故有ξ∈(0,b),使得 [*] 即 f(B)=(1+ξ)ln(1+b)f’(ξ)
解析
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考研数学三
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