设f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且同为单调不减(或同为单调不增)函数,证明: (b-a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx. (*)

admin2018-06-27  36

问题 设f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且同为单调不减(或同为单调不增)函数,证明:
(b-a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx.    (*)

选项

答案引进辅助函数 F(x)=(x-a)∫axf(t)dt-∫axf(t)dt∫axg(t)dt 转化为证明F(x)≥0(x∈[a,b]). 由F(a)=0, F’(x)=∫axf(t)g(t)dt+(x-a)f(x)g(x)-f(x)∫axg(t)dt-g(x)∫axf(t)dt =∫axf(t)[g(t)-g(x)dt-∫axf(x)[g(t)-g(x)dt =∫ax[f(t)-f(x)][g(x)-g(x)]dt≥0(x∈[a,b]) 其中(x-a)f(x)g(x)=f∫ax(x)g(x)dt,我们可得F(x)在[a,b]单调不减[*]F(x)≥F(a)=0(x∈[a,b]),特别有 F(b)≥0 即原式成立.

解析
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