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设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.
设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.
admin
2020-03-16
38
问题
设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.
选项
答案
因A有n个互异特征值,所以存在可逆矩阵P,使[*]其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是A的特征值,且λ
i
≠λ
j
(i≠j).于是,根据题设AB=BA,得(P
一1
AP)(P
一1
BP)=P
一1
ABP=P
一1
BAP=(P
一1
BP)(P
一1
AP),即A(P
一1
BP)=(P
一1
BP)A. 令P
一1
BP=(c
ij
)
n×n
,代入上式,有[*]比较两边元素得λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
,即(λ
i
—λ
j
)c
ij
=0. 由此有c
ij
=0(i≠j),故[*]
解析
本题考查矩阵相似对角化的条件.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sb84777K
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考研数学二
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