设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.

admin2020-03-16  29

问题 设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.

选项

答案因A有n个互异特征值,所以存在可逆矩阵P,使[*]其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值,且λi≠λj(i≠j).于是,根据题设AB=BA,得(P一1AP)(P一1BP)=P一1ABP=P一1BAP=(P一1BP)(P一1AP),即A(P一1BP)=(P一1BP)A. 令P一1BP=(cij)n×n,代入上式,有[*]比较两边元素得λicijjcij,即(λi—λj)cij=0. 由此有cij=0(i≠j),故[*]

解析 本题考查矩阵相似对角化的条件.
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