设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

admin2020-03-16 39

问题设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

选项

答案因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使[*]其中λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，且λ_i≠λ_j(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得(P^一1AP)(P^一1BP)=P^一1ABP=P^一1BAP=(P^一1BP)(P^一1AP)，即A(P^一1BP)=(P^一1BP)A．令P^一1BP=(c_ij)_n×n，代入上式，有[*]比较两边元素得λ_ic_ij=λ_jc_ij，即(λ_i—λ_j)c_ij=0．由此有c_ij=0(i≠j)，故[*]

解析本题考查矩阵相似对角化的条件．

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