设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组A：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组B：α1，α2，…，αm-1，β，则( )．

admin2020-06-05 27

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组A：α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，记向量组B：α₁，α₂，…，α_m-1，β，则( )．

选项 A、α_m不能由向量组A线性表示，也不能由向量组B线性表示
B、α_m不能由向量组A线性表示，但可由向量组B线性表示
C、α_m可由向量组A线性表示，也可由向量组B线性表示
D、α_m可由向量组A线性表示，但不可由向量组B线性表示

答案B

解析由题设可知，存在常数k₁，k₂，…，k_m，使得
β＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m
且k_m≠0．否则，若k_m＝0，上式表明β可由向量组A线性表示，这与已知条件矛盾．于是上式两边同时除以k_m解出α_m，得
α_m＝

这表明向量α_m可由向量组B线性表示，因此排除(A)，(D)．
对于选项(C)，若α_m可由向量组A线性表示，即有
α_m＝λ₁α₁＋λ₂α₂＋…＋λ_m-1α_m-1
将此式带入β＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m可知，β也可由向量组A线性表示，而这与已知条件矛盾．因此α_m不能由A线性表示，(C)被排除，故(B)入选．

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考研数学一

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