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设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组A:α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组B:α1,α2,…,αm-1,β,则( ).
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组A:α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组B:α1,α2,…,αm-1,β,则( ).
admin
2020-06-05
26
问题
设向量β可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,但不能由向量组A:α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,记向量组B:α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β,则( ).
选项
A、α
m
不能由向量组A线性表示,也不能由向量组B线性表示
B、α
m
不能由向量组A线性表示,但可由向量组B线性表示
C、α
m
可由向量组A线性表示,也可由向量组B线性表示
D、α
m
可由向量组A线性表示,但不可由向量组B线性表示
答案
B
解析
由题设可知,存在常数k
1
,k
2
,…,k
m
,使得
β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
且k
m
≠0.否则,若k
m
=0,上式表明β可由向量组A线性表示,这与已知条件矛盾.于是上式两边同时除以k
m
解出α
m
,得
α
m
=
这表明向量α
m
可由向量组B线性表示,因此排除(A),(D).
对于选项(C),若α
m
可由向量组A线性表示,即有
α
m
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
m-1
α
m-1
将此式带入β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
可知,β也可由向量组A线性表示,而这与已知条件矛盾.因此α
m
不能由A线性表示,(C)被排除,故(B)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tAv4777K
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考研数学一
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