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  3. (2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。

(2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。

admin2021-01-15  8
问题 (2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。
选项
答案令f(x)=karctanx—x，则 [*] (1)当k＜1时，f′(x)＜0，f(x)在(一∞，+∞)单调递减，故此时f(x)的图形与x轴只有一个交点，也即方程只有一个实根x=0； (2)当k=1时，在(一∞，0)和(0，+∞)上都有f′(x)＜0，所以f(x)在(一∞，0)和(0，+∞)是严格单调递减的，又f(0)=0，故f(x)的图形在(一∞，0)和(0，+∞)与x轴均无交点； [*] (3)当k＞1且[*]时，f′(x)＞0，f(x)在[*]上单调增加，由f(0)=0知，f(x)在[*]上只有一个实根。 又f(x)在区间[*]都有f′(x)＜0，f(x)在[*]或[*]都单调递减，又 [*] 所以f(x)在[*]与x轴有一个交点，在[*]上与x轴有一个交点。 综上所述，k≤1时，方程karctanx—x=0只有一个实根；k＞1时，方程karctanx—x=0有个实根，其中一个实根为0。
解析
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考研数学一

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