2. 考研
  3. 设α1＝(1，3，5，－1)T，α2＝(2，7，α，4)T，α3＝(5，17，－1，7)T． ①若α1，α2，α3线性相关，求a． ②当a＝3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． ③设a＝3，α4是与α1，α2，α3都正交

设α1＝(1，3，5，－1)T，α2＝(2，7，α，4)T，α3＝(5，17，－1，7)T． ①若α1，α2，α3线性相关，求a． ②当a＝3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． ③设a＝3，α4是与α1，α2，α3都正交

admin2019-08-11  33
问题 设α1＝(1，3，5，－1)T，α2＝(2，7，α，4)T，α3＝(5，17，－1，7)T．
    ①若α1，α2，α3线性相关，求a．
    ②当a＝3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．
    ③设a＝3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．
选项
答案①α1，α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3)＜3． [*] 得a＝－3． ②与α1，α2，α3都正交的非零向量即齐次方程组[*]的非零解， 解此方程组： [*] 解得α4＝c(19，－6，0，1)T，c≠0． ③只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示． 由①知，a＝3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示． 用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设α4＝c1α1＋c2α2＋c3α3，则 (α4，α4)＝(α4，c1α1＋c2α2＋c3α3)＝c1(α4，α1)＋c2(α4，α2)＋c3(α4，α3) ＝0， 得α4＝0，与α4是非零向量矛盾． 于是α1，α2，α3，α4线性无关．
解析
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考研数学二

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