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设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O,已知A的秩R(A)=2. (1)求A的全部特征值. (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O,已知A的秩R(A)=2. (1)求A的全部特征值. (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
admin
2020-09-25
116
问题
设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A
2
+2A=O,已知A的秩R(A)=2.
(1)求A的全部特征值.
(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
选项
答案
(1)设λ为A的一个特征值,对应的特征向量为α,则Aα=λα,A
2
α=λ
2
α,于是(A
2
+2A)α=(λ
2
+2λ)α.由条件A
2
+2A=O推知(λ
2
+2λ)α=0. 又由于α≠0,故有λ
2
+2λ=0,解得λ=一2,λ=0. 因为实对称矩阵A必可对角化,且R(A)=2,所以A~[*] 因此,矩阵A的全部特征值为λ
1
=λ
2
=一2,λ
3
=0. (2)矩阵A+kE仍为实对称矩阵.由(1)知,A+kE的全部特征值为一2+k,一2+k,k. 于是,当k>2时矩阵A+kE的全部特征值大于零.因此,矩阵A+kE为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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