设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O,已知A的秩R(A)=2. (1)求A的全部特征值. (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.

admin2020-09-25  70

问题 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O,已知A的秩R(A)=2.
  (1)求A的全部特征值.
  (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.

选项

答案(1)设λ为A的一个特征值,对应的特征向量为α,则Aα=λα,A2α=λ2α,于是(A2+2A)α=(λ2+2λ)α.由条件A2+2A=O推知(λ2+2λ)α=0. 又由于α≠0,故有λ2+2λ=0,解得λ=一2,λ=0. 因为实对称矩阵A必可对角化,且R(A)=2,所以A~[*] 因此,矩阵A的全部特征值为λ12=一2,λ3=0. (2)矩阵A+kE仍为实对称矩阵.由(1)知,A+kE的全部特征值为一2+k,一2+k,k. 于是,当k>2时矩阵A+kE的全部特征值大于零.因此,矩阵A+kE为正定矩阵.

解析
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