2. 考研
  3. 在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．

在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．

admin2019-06-28  73
问题 在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．
选项
答案过椭圆上任意点(x0，y0)的切线的斜率y’(x0)满足 [*] 切线方程为 y-y0=[*](x-x0)． 分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：[*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为 S(x0)=[*]πab． 问题是求：S(x)=[*](0＜x＜a)的最小值点，其中[*]，将其代入S(x)中， 问题可进一步化为求函数f(x)=x2(a2-x2)在闭区间[0，a]上的最大值点． [*] 由f’(x)=2x(a2-2x2)=0(x∈(0，a))得a0-2x0=0，x=x0=[*]．注意f(0)=f(a)=0，f(x0)＞0，故x0=[*]是f(x)在[0，a]的最大值点．因此[*]为所求的点．
解析
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考研数学二

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