在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．

admin2019-06-28 25

问题在椭圆

的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．

选项

答案过椭圆上任意点(x₀，y₀)的切线的斜率y’(x₀)满足 [*] 切线方程为 y-y₀=[*](x-x₀)．分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：[*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为 S(x₀)=[*]πab．问题是求：S(x)=[*](0＜x＜a)的最小值点，其中[*]，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x²(a²-x²)在闭区间[0，a]上的最大值点． [*] 由f’(x)=2x(a²-2x²)=0(x∈(0，a))得a₀-2x₀=0，x=x₀=[*]．注意f(0)=f(a)=0，f(x₀)＞0，故x₀=[*]是f(x)在[0，a]的最大值点．因此[*]为所求的点．

解析

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考研数学二

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在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．

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