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在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．
在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．
admin
2019-06-28
46
问题
在椭圆
的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．
选项
答案
过椭圆上任意点(x
0
，y
0
)的切线的斜率y’(x
0
)满足 [*] 切线方程为 y-y
0
=[*](x-x
0
)． 分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：[*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为 S(x
0
)=[*]πab． 问题是求：S(x)=[*](0＜x＜a)的最小值点，其中[*]，将其代入S(x)中， 问题可进一步化为求函数f(x)=x
2
(a
2
-x
2
)在闭区间[0，a]上的最大值点． [*] 由f’(x)=2x(a
2
-2x
2
)=0(x∈(0，a))得a
0
-2x
0
=0，x=x
0
=[*]．注意f(0)=f(a)=0，f(x
0
)＞0，故x
0
=[*]是f(x)在[0，a]的最大值点．因此[*]为所求的点．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/udV4777K
0
考研数学二
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