(2000年)设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体的重心位置。

admin2019-03-07  28

问题 (2000年)设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体的重心位置。

选项

答案方法一:记所考虑的球体为Ω,以Ω的球心为坐标原点O,射线OP0为正x轴建立直角坐标系,则球面方程为:x2+y2+z2=R2,点P0的坐标为(R,0,0),设Ω的重心位置为[*]由对称性,得[*]设μ为Ω上点(x,y,2)处的密度,按题设μ=k[(x—R)2+y2+z2],则 [*] 其中, [*] 其中第一个积分的被积函数为z的奇函数,Ω关于xOy平面对称,所以该积分值为零,又由于Ω关于x,y,z轮换对称,所以 [*] 方法二:用Ω表示所考虑的球体,[*]表示球心,以点P0选为原点,射线[*]为正z轴建立直角坐标系,则球面的方程为x2+y2+z2=2Rz,设Ω的重心位置为[*]由对称性,得[*]设μ为Ω上点(x,y,z)处的密度,按题设μ=k(x2+y2+z2)。所以 [*] 因为 [*] 故[*]因此,球体Ω的重心位置为[*]

解析
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