[2003年] 设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的分布函数．

admin2019-04-15 83

问题 [2003年] 设随机变量X的概率密度为

F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的分布函数．

选项

答案解一 F(x)为X的分布函数，而X的函数又为Y=F(X)．由命题3．2．5．1知Y服从[0，1]上的均匀分布，而与随机变量X服从什么分布无关．因而 [*] 解二先求X的分布函数，再计算Y=F_Y(X)的分布函数．因f(x)为分段函数，应按x＜1，1≤x＜8，x≥8三种情况分别求出F_X(x)．当x＜1时，[*] 当1≤x＜8时，[*] 当x≥8时， [*] 综上所述， [*] 则Y=F(X)的分布函数为 F_Y(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)．注意到0≤F(x)≤1，其中x∈(－∞，+∞)，得到当y≤0时，F_Y(y)=0；当y＞1时，F_Y(y)=1．当0＜y≤1时， [*] 或 [*] 因而Y=F(X)的分布函数为 [*] 注：命题3．2．5．1 若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y=F(X)服从(0，1)上的均匀分布．

解析

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考研数学三

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