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(04年)设n阶矩阵A= (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
(04年)设n阶矩阵A= (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
admin
2021-01-25
65
问题
(04年)设n阶矩阵A=
(1)求A的特征值和特征向量;
(2)求可逆矩阵P,使P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(1)当b≠0时,A的特征多项式为 |λE-A|=[*]=[λ-1(n-1)b](λ-(1-b)]
n-1
, 故A的特征值为λ
1
=1+(n-1)b,λ
2
=…=λ
n
=1-b. 对于λ
1
=1+(n-1)b,设对应的一个特征向量为ξ
1
,则 [*] 解得ξ
1
=(1,1,…,)
T
,所以,属于λ
1
的全部特征向量为 kξ
1
=k(1,1,…,1)
T
,其中k为任意非零常数. 对于λ
2
=…=λ
n
=1-b,解齐次线性方程组[(1-b)E-A]χ=0,由 [*] 解得基础解系为ξ
2
=(1,-1,0,…,0)
T
,ξ
3
=(1,0,一1,…,0)
T
,…,ξ
n
=(1,0,0,…,-1)
T
.故属于λ
2
=…=λ
n
的全部特征向量为 k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
,其中k
2
,k
3
,…,k
n
为不全为零的任意常数. 当b=0时,A=E,A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=1,任意n维非零列向量均是A的特征向量. (2)当b≠0时,A有n个线性无关的特征向量,令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
…ξ
n
],则有 P
-1
AP=diag(1+(n-1)b,1-b,…,1-6). 当b=0时,A=E,对任意n阶可逆矩阵P,均有P
-1
AP=E.
解析
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考研数学三
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