设f(x)在[1，+∞)可导，[xf(x)]≤-kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜(x＞1)．

admin2018-06-27 51

问题设f(x)在[1，+∞)可导，

[xf(x)]≤-kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的

子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜

(x＞1)．

选项

答案已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)[*]子区间上不恒为零，要证f(x)x^k+1＜M(x＞1)．令F(x)=f(x)x^k+1[*]F’(x)=x^k+1f’(x)+(k+1)x^kf(x)=x^k[xf’(x)+(k+1)f(x)]≤0(x＞1)，在(1，+∞)[*]子区间上不恒为零，又F(x)在[1，+∞)连续[*]F(x)在[1，+∞)单调下降[*]F(x)＜F(1)=f(1)≤M (x＞1)．

解析

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考研数学二

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