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设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是相应的特征向量.证明:向量组A(ξ1+ξ2),A(ξ1+ξ3),A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵.
设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是相应的特征向量.证明:向量组A(ξ1+ξ2),A(ξ1+ξ3),A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵.
admin
2018-09-25
65
问题
设A是3阶矩阵,λ
1
,λ
2
,λ
3
是三个不同的特征值,ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
是相应的特征向量.证明:向量组A(ξ
1
+ξ
2
),A(ξ
1
+ξ
3
),A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵.
选项
答案
A(ξ
1
+ξ
2
),A(ξ
2
+ξ
3
),A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关 <=>λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
,λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
,λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
线性无关 <=>[λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
,λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
,λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
]=[ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
] [*] 的秩为3 <=>|A|=λ
1
λ
2
λ
3
≠0,A是可逆矩阵(因为ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关, [*] =2λ
1
λ
2
λ
3
).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yeg4777K
0
考研数学一
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