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(2015年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Py下的标准形为2y12＋y22－y32，其中P＝(e1，e2，e3)．若Q＝(e1，－e3，e2)，则f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Qy，下的标准形为 【 】
(2015年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Py下的标准形为2y12＋y22－y32，其中P＝(e1，e2，e3)．若Q＝(e1，－e3，e2)，则f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Qy，下的标准形为 【 】
admin
2019-03-08
28
问题
(2015年)设二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)在正交变换χ＝Py下的标准形为2y
1
2
＋y
2
2
－y
3
2
，其中P＝(e
1
，e
2
，e
3
)．若Q＝(e
1
，－e
3
，e
2
)，则f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)在正交变换χ＝Qy，下的标准形为 【 】
选项
A、2y
1
2
－y
2
2
＋y
3
2
．
B、2y
1
2
＋y
2
2
－y
3
2
．
C、2y
1
2
－y
2
2
－y
3
2
．
D、2y
1
2
＋y
2
2
＋y
3
2
．
答案
A
解析
设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e
1
，e
2
，e
3
是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，－1．即有
Ae
1
＝2e
1
，Ae
2
＝2e
2
，Ae
3
＝2e
3
从而有
AQ＝A(e
1
，－e
3
，e
2
)＝(Ae
1
，－Ae
3
，Ae
2
)＝(2e
1
，－(－e
3
)，e
2
)
＝(e
1
，－e
3
，e
2
)
矩阵Q的列向量e
1
，－e
3
，e
2
仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，－1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q
-1
＝Q
T
，上式两端左乘Q
-1
．得
Q
-1
AQ＝Q
T
AQ＝
从而知f在正交变换χ＝Py下的标准形为f＝2y
1
2
－y
2
2
＋y
3
2
．于是选A．
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考研数学二
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