2. 考研
  3. [2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2021-01-25  45
问题 [2017年]  设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案(1)[*]令[*]则f(x1，x2，x3)=XTAX． 由于标准形为λ1y12+λ2y22，可知矩阵A有零特征值，即λ3=0，故|A|=0，即 [*]解得a=2． (2)由[*]得λ1=3，λ2=6，λ3=0． 当λ1=－3时，[*]得λ1=－3对应的线性无关的特征向量为[*] 当λ2=6时，[*]得λ26对应的线性无关的特征向量[*] 由[*]得λ3=0对应的线性无关的特征向量[*] 规范化得 [*] 故正交矩阵 [*]
解析
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考研数学三

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