[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2021-01-25 39

问题 [2017年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²－x₂²+ax₃²+2x₁x₂－8x₁x₃+2x₂x₃在正交变换X=QY下的标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，求a的值及一个正交矩阵Q．

选项

答案(1)[*]令[*]则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX．由于标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，可知矩阵A有零特征值，即λ₃=0，故|A|=0，即 [*]解得a=2． (2)由[*]得λ₁=3，λ₂=6，λ₃=0．当λ₁=－3时，[*]得λ₁=－3对应的线性无关的特征向量为[*] 当λ₂=6时，[*]得λ₂6对应的线性无关的特征向量[*] 由[*]得λ₃=0对应的线性无关的特征向量[*] 规范化得 [*] 故正交矩阵 [*]

解析

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考研数学三

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