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在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
admin
2018-05-23
78
问题
在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
选项
答案
设所求曲线为y=y(x),该曲线在点P(x,y)的法线方程为 Y—y=[*](X—x)(y
’
≠0) 令Y=0,得X=x+yy
’
,该点到x轴法线段PQ的长度为[*], 由题意得[*],即yy
’
=1+y
’2
. 令y
’
=p,则y
’’
=[*], 两边积分得y=[*],由y(1)=1,y
’
(1)=0得C
1
=1,又y
’
>0,所以y
’
=[*], 变量分离得[*]=dx,两边积分得ln(y+[*])=x+C
2
,由y(1)=1得C
2
=一1, [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/02g4777K
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考研数学一
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