在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2018-05-23 78

问题在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 Y—y=[*](X—x)(y^’≠0) 令Y=0，得X=x+yy^’，该点到x轴法线段PQ的长度为[*]，由题意得[*]，即yy^’=1+y^’2．令y^’=p，则y^’’=[*]，两边积分得y=[*]，由y(1)=1，y^’(1)=0得C₁=1，又y^’＞0，所以y^’=[*]，变量分离得[*]=dx，两边积分得ln(y+[*])=x+C₂，由y(1)=1得C₂=一1， [*]

解析

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考研数学一

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在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

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