2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，A的秩r(A)＝2，且A，求 (1)A的特征值与特征向量； (2)矩阵A．

设A为3阶实对称矩阵，A的秩r(A)＝2，且A，求 (1)A的特征值与特征向量； (2)矩阵A．

admin2014-01-26  49
问题 设A为3阶实对称矩阵，A的秩r(A)＝2，且A，求
    (1)A的特征值与特征向量；
    (2)矩阵A．
选项
答案(1)由r(A)＝2得A有特征值λ1＝0． 又[*]， 知A有特征值λ2＝－1，λ3＝1，且对应的特征向量分别为：α2＝(1，0，－1)T，α3＝(1，0，1)T． 令λ1＝0对应的特征向量为α1＝(x1，x2，x3)T，则α1与α2，α3正交．于是， α1Tα2＝0，α1Tα3＝0， 即[*] 解之得上述方程组的基础解系为(0，1，0)T，故可取α1＝(0，1，0)T． 所以λ1＝0，λ2＝－1，λ3＝1对应的特征向量分别为： k1α1，k2α2，k3α3．其中k1≠0，k2≠0，k3≠0． (2)记P＝(α1，α2，α3)＝[*]，得 [*]
解析 [分析]利用特征值、特征向量的定义以及实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交进行求解．
[评注]若将α2，α3单位化，得．令Q＝(α2，η2，η3)，则Q为正交矩阵，且Q－1AQ＝QTAQ＝。
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考研数学二

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