设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．设C=E-ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

admin2016-07-22 109

问题设有两个非零矩阵A=[a₁，a₂，…，a_n]^T，B=[b₁，b₂，…，b_n]^T．
设C=E-AB^T，其中E为n阶单位阵．证明：C^TC=E-BA^T-AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

选项

答案由于C^TC=(E-AB^T)^T(E-AB^T)=(E-BA^T)(E-AB^T)=E-BA^T-AB^T+BA^TAB^T，故若要求C^TC=E-BA^T-AB^T+BB^T，则BA^TAB^T-BB^T=O，B(A^TA-1)B^T=O，即 (A^TA-1)BB^T=O 因为B≠O，所以BB^T≠O．故C^TC=E-BA^T-AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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考研数学一

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