设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T. 设C=E-ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

admin2016-07-22  62

问题 设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T
设C=E-ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

选项

答案由于CTC=(E-ABT)T(E-ABT)=(E-BAT)(E-ABT)=E-BAT-ABT+BATABT,故若要求CTC=E-BAT-ABT+BBT,则BATABT-BBT=O,B(ATA-1)BT=O,即 (ATA-1)BBT=O 因为B≠O,所以BBT≠O.故CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

解析
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