2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在满足0＜ξ＜η＜1的ξ，η，使得f’(ξ)＋f’(η)＝0。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在满足0＜ξ＜η＜1的ξ，η，使得f’(ξ)＋f’(η)＝0。

admin2019-12-24  60
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在满足0＜ξ＜η＜1的ξ，η，使得f’(ξ)＋f’(η)＝0。
选项
答案f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，在[0，1／2]，[1／2，1]上分别使用拉格朗日中值定理，可知存在ξ∈(0，1／2)，使得 f(1／2)－f(0)＝1／2f’(ξ)， ① 存在η∈(1／2，1)，使得 f(1)－f(1／2)＝1／2f’(η)， ② 由f(0)＝f(1)，可知①＋②得f’(ξ)＋f’(η)＝0。 故存在0＜ξ＜η＜1，使得f’(ξ)＋f’(η)＝0。
解析 本题考查拉格朗日中值定理。根据结论的特点，本题需要在不同区间两次应用拉格朗日中值定理。
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考研数学三

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