设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在满足0<ξ<η<1的ξ,η,使得f’(ξ)+f’(η)=0。

admin2019-12-24  43

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在满足0<ξ<η<1的ξ,η,使得f’(ξ)+f’(η)=0。

选项

答案f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,在[0,1/2],[1/2,1]上分别使用拉格朗日中值定理,可知存在ξ∈(0,1/2),使得 f(1/2)-f(0)=1/2f’(ξ), ① 存在η∈(1/2,1),使得 f(1)-f(1/2)=1/2f’(η), ② 由f(0)=f(1),可知①+②得f’(ξ)+f’(η)=0。 故存在0<ξ<η<1,使得f’(ξ)+f’(η)=0。

解析 本题考查拉格朗日中值定理。根据结论的特点,本题需要在不同区间两次应用拉格朗日中值定理。
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