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下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )
下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )
admin
2018-12-29
23
问题
下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )
选项
A、 
B、 
C、 
D、 
答案
D
解析
A选项是实对称矩阵,实对称矩阵必可以相似对角化。
B选项是下三角矩阵,主对角线元素就是矩阵的特征值,因而矩阵有三个不同的特征值,所以矩阵必可以相似对角化。
C选项是秩为1的矩阵,由|λE—A|=λ
3
—4λ
2
,可知矩阵的特征值是4,0,0。对于二重根λ=0,由秩r(OE—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量,即λ=0时有两个线性无关的特征向量,从而矩阵必可以相似对角化。
D选项是上三角矩阵,主对角线上的元素1,1,—1就是矩阵的特征值,对于二重特征值λ=1,
由秩
可知齐次线性方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解,即λ=1时只有一个线性无关的特征向量,因此矩阵必不能相似对角化,故选D。
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考研数学一
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