[2003年] 讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数.

admin2019-06-09  46

问题 [2003年]  讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数.

选项

答案 构造辅助函数F(x)=ln4x+4x一4lnx一k.对F(x)使用命题1.2.5.8即可求出其交点个数. 本题可归结为讨论方程ln4x+4x一4lnx—k=0有几个不同的实根.设F(x)=ln4x一4lnx+4x—k,显然F(x)的定义域为(0,+∞).注意到 [*](ln4x一4lnx+4x—k)=+∞, [*](ln4x一4lnx+4x一k)=+∞, 即F(x)在其定义区间端点处的极限值同号.为求其零点个数,可先求其在(0,+∞)内的最值. 由F′(x)=4(ln3x一1+x)/x=0得到唯一驻点x=1. 当0<x<1时,F′(x)<0;当x>1时,F′(x)>0.故x=1为F(x)的极小值点,由驻点唯一即知,x=1为F(x)的最小值点,其最小值为m=F(1)=4一k.于是由命题1.2.5.8得到下述结论: (1)当x=4一k>0即k<4时,F(x)与x轴没有交点,因而F(x)=0无实根,即两曲线无交点; (2)当x=4一k=0即k=4时,F(x)与x轴只有一个交点,因而F(x)=0只有一个实根,即两曲线只有一交点; (3)当m=4一k<0即足>4时,F(x)与x轴有两个交点,因而F(x)=0有两个实根,分别位于区间(0,1)与(1,+∞)内,即两曲线有两个交点.

解析
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