[2003年] 讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数．

admin2019-06-09 56

问题 [2003年] 讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln⁴x的交点个数．

选项

答案构造辅助函数F(x)=ln⁴x+4x一4lnx一k．对F(x)使用命题1．2．5．8即可求出其交点个数．本题可归结为讨论方程ln⁴x+4x一4lnx—k=0有几个不同的实根．设F(x)=ln⁴x一4lnx+4x—k，显然F(x)的定义域为(0，+∞)．注意到 [*](ln⁴x一4lnx+4x—k)=+∞， [*](ln⁴x一4lnx+4x一k)=+∞，即F(x)在其定义区间端点处的极限值同号．为求其零点个数，可先求其在(0，+∞)内的最值．由F′(x)=4(ln³x一1+x)／x=0得到唯一驻点x=1．当0＜x＜1时，F′(x)＜0；当x＞1时，F′(x)＞0．故x=1为F(x)的极小值点，由驻点唯一即知，x=1为F(x)的最小值点，其最小值为m=F(1)=4一k．于是由命题1．2．5．8得到下述结论： (1)当x=4一k＞0即k＜4时，F(x)与x轴没有交点，因而F(x)=0无实根，即两曲线无交点； (2)当x=4一k=0即k=4时，F(x)与x轴只有一个交点，因而F(x)=0只有一个实根，即两曲线只有一交点； (3)当m=4一k＜0即足>4时，F(x)与x轴有两个交点，因而F(x)=0有两个实根，分别位于区间(0，1)与(1，+∞)内，即两曲线有两个交点．

解析

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考研数学二

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