设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．

admin2018-09-25 37

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足

证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．

选项

答案由积分中值定理，得f(1)=e^1－ξ₁²f(ξ₁)，ξ₁∈[*] 令F(x)=e^1－x²f(x)，则F(x)在[ξ₁，1]上连续，在(ξ₁，1)内可导，且 F(1)=f(1)=e^1－ξ₁²f(ξ₁)=F(ξ₁)．由罗尔定理，在(ξ₁，1)内至少有一点ξ，使得 F’(ξ)=e^1－ξ²[f’(ξ)－2ξf(ξ)]=0，于是f’(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ₁，1)[*](0，1)．

解析

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