设f(x)在[0，+∞]连续，且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

admin2020-03-16 31

问题设f(x)在[0，+∞]连续，且∫₀¹f(x)dx

证明至少存在一点ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

选项

答案作函数F(x)=f(x)+x，有 ∫₀¹F(x)dx=∫₀¹[f(x)+x]dx=∫₀¹f(x)dx+[*]＜0。所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使 ∫₀¹F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因为[*] 所以，由极限的保号性，存在b＞a，使[*]，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一点ξ∈[a，b] [*] (0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。

解析

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