2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞]连续，且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

设f(x)在[0，+∞]连续，且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

admin2020-03-16  40
问题 设f(x)在[0，+∞]连续，且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。
选项
答案作函数F(x)=f(x)+x，有 ∫01F(x)dx=∫01[f(x)+x]dx=∫01f(x)dx+[*]＜0。 所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使 ∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。 又因为[*] 所以，由极限的保号性，存在b＞a，使[*]，即F(b)＞0。 因此，由介值定理，至少存在一点ξ∈[a，b] [*] (0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。
解析
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考研数学二

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