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设f(x)在[0,+∞]连续,且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。
设f(x)在[0,+∞]连续,且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。
admin
2020-03-16
30
问题
设f(x)在[0,+∞]连续,且∫
0
1
f(x)dx
证明至少存在一点ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。
选项
答案
作函数F(x)=f(x)+x,有 ∫
0
1
F(x)dx=∫
0
1
[f(x)+x]dx=∫
0
1
f(x)dx+[*]<0。 所以由积分中值定理,存在a∈[0,1],使 ∫
0
1
F(x)dx=(1一0)F(a)<0,即F(a)<0。 又因为[*] 所以,由极限的保号性,存在b>a,使[*],即F(b)>0。 因此,由介值定理,至少存在一点ξ∈[a,b] [*] (0,+∞),使F(ξ)=0,即f(ξ)+ξ=0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6B84777K
0
考研数学二
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