设f(x)在[0,+∞]连续,且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。

admin2020-03-16  30

问题 设f(x)在[0,+∞]连续,且∫01f(x)dx 证明至少存在一点ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。

选项

答案作函数F(x)=f(x)+x,有 ∫01F(x)dx=∫01[f(x)+x]dx=∫01f(x)dx+[*]<0。 所以由积分中值定理,存在a∈[0,1],使 ∫01F(x)dx=(1一0)F(a)<0,即F(a)<0。 又因为[*] 所以,由极限的保号性,存在b>a,使[*],即F(b)>0。 因此,由介值定理,至少存在一点ξ∈[a,b] [*] (0,+∞),使F(ξ)=0,即f(ξ)+ξ=0。

解析
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